Ecrivant la STG un comme somme d’une série convergente et d’une série divergente, on obtient que la série de terme général un diverge. The de nition of convergence The sequence xn converges to X when this holds: for any >0 there exists K such that jxn − Xj < for all n K. Informally, this says that as n gets larger and larger the numbers xn get closer and closer to X.Butthe de nition is something you can work with precisely. de sorte que la suite (u n) est bien de Cauchy. Supposons que lim k→+∞ k √ u k =c. Critère concernant une suite de va, analogue au critère de CAUCHY de l’analyse mathématique (cf suite de CAUCHY). Lecture #22: The Cauchy Integral Formula Recall that the Cauchy Integral Theorem, Basic Version states that if D is a domain and f(z)isanalyticinD with f(z)continuous,then C f(z)dz =0 for any closed contour C lying entirely in D having the property that C is … R eciproquement, soit (u n) une suite de Cauchy. Ainsi, 8n> n 0;ju nj6 K ou K= ju n 0 j+ 1: Bref, la suite (u n) est donc born ee. D’autre part, √ 2p+1 u 2p+1 = 2, et par application du critère de Cauchy, la série de terme général u2p+1 diverge. Ce critère de convergence est très proche de celui de d'Alembert, qui spécifie dans sa forme la plus précise que la série de terme général x n : . Université de Bordeaux 2015-2016 DS Analyse 1 - Corrigé Exercice 1. Le critère de la racine affirme que 1) si c<1, alors la série converge; 2) si c>1, alors la série diverge; 3) si c=1, alors on ne peut conclure. (1)Donnerladéfinitiond’unesuiteconvergente. On dit que (x n) n2N est une suite de Cauchy si et seulement si on a pour tout ">0, il existe N "2N tel que (n Net m N ") )jx n x mj ". (a) Si X = RK et si X L2 X ( , T, P), le critère de A.L. Cauchy’s criterion for convergence 1. Montrer que la suite (r n) n2N est de Cauchy. 1.3 Limites de suites Structure de R, suites dans R ou C : Il existe une notion proche de celle de suite convergente, mais ne nécessitant pas de préciser la valeur de l. Soit (x n) n2N une suite réelle. Exercice 11 Soient a;b 2 R +. 9’33 avec le cas 1 et 11’32 au total en allant normal. CAUCHY dans L2 Indication : on pourra ecrire, pour m>n, r m r n = P m 1 Rappel: Soit f: [a,+1[!R. 6.8 Critère de la racine (Cauchy) On considère une série de terme positif u k >0. Appliquons (C) pour "= 1 : il existe donc un n 0 2N tel que pour tout n> n 0, en prenant m= n 0, on ait ju n u n 0 j6 1. (2)Donnerladéfinitiond’unesuitedeCauchy. Notes: X A l’oral, selon la leçon on fait linéaire ou pas. Il s’agit dans cet exercice de prouver les deux premières affirmations. (i) Soit ( , T, P) un espace probabilisé, (X, B) un espace probabilisable et X = (Xn)n N une suite de va Xn: X. Exercice 10 Montrer que les séries de termes généraux un:= ( 1)n p n et vn:= ( 1)n p n+( 1)n ne sont pas de même nature, bien que un ˘ vn. Rajouterdémoduthmdepointfixe(Demailly) XVersion plus générale du théorème de Cauchy-Lipschitz. Étudier la série de terme général un:= an2 p n 2 p n +bn: Exercice 12 Montrer que la série ∑ n2N un avec un:= ln (cos 1 2n) est convergente et calculer sa somme. Rappelons d’abord le critère de Cauchy pour les limites. Alors limx!+1f (x) existe et est finie si et seulement si 8 >0 9M > a u,v > M =) f (u) f (v) < . 1 Suites de Cauchy Exercice 1.1 (Une suite de Cauchy dans Q non convergente) (a) Soient (r n) n2N une suite de nombres r eels telle que jr n+1 r nj n, pour tout n2N, ou est un r eel strictement compris entre 0 et 1. Critère de Cauchy On termine par une caractérisation de la convergence un peu plus délicate (qui peut être passée lors d’une première lecture). converge absolument dès que lim sup (║x n+1 ║/║x n ║) < 1 ;; diverge grossièrement dès que lim inf (║x n+1 ║/║x n ║) > 1.; La règle de Cauchy lui est légèrement supérieure de deux points de vue : 2.1.3 Critère de Cauchy Définition 2.1.5 On dit que la série P an vérifie le critère de Cauchy si ∀ε > 0 ∃N ∈ Ntel que ∀p ≥ N ∀q ≥ p on a Xq n=p an ≤ ε. Autrement dit, la série P an satisfait le critère de Cauchy si et seulement si la suite associée (An)n, An = Pn k=0 ak, est une suite de Cauchy.
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