figure : le système de coordonnées sphériques et la base associée. 56 C. Méthodes de calcul des intégrales triples C-I. Donner les coordonnées cylindriques (ρϕ, ,z) et sphériques ( θr, , ϕ) de ces deux points, respectivement dans les bases (e ,e,e z) r r r ρ ϕ et (r θ e ,e ,e ϕ) r r r. 2. Coordonnées sphériques Un point Mest repéré par: a) le rayon R b) l’angle ϕ c) la côte z Ce type de coordonnées est adapté aux systèmes à symétrie cylindrique 2. Les incertitudes A.FIZAZI Univ-BECHAR LMD1/SM_ST 10 L’incertitude absolue X de X s’écrit donc : ff f Xx y z xy z + + (1.7) Définition : On appelle incertitude relative ( ) d’une grandeur X le rapport entre l’incertitude absolue et la valeur approchée, soit On pose OP = r , φ l'angle entre Ox et OH et θ l'angle entre Oz et OP. Exprimer la distance d entre ces deux points en fonction des coordonnées sphériques. En se déplaçant “droit devant”, il se déplace le 7.3) était supposé de déterminer les coordonnées rectangulaires de l'objet, c à d les projections du rayon-vecteur r G sur les axes du système des coordonnées (SC). III.Coordonnées sphériques H est le projeté orthogonal de M dans le plan (Oxy). 7.2, fig. le miroir. coordonnées 1 Lesopérateursdifférentiels. Contact. I-1) Liens entre coordonnées . Les coordonnées sphérique (r, ) d’un point M sont telles que : r = OM ; 0 < r < +∞ angle orienté entre l’axe Oz et OM; 0 , = angle orienté entre l’axe Ox et Coordonnées sphériques ; base locale et transport parallèle 1.a. I – Les systèmes de coordonnées . avonsdq 2 = dq 3 = 0,alorsds= h 1dq 1 toutsimplement. En particulier, on a Om=4 et 1 I = 4(cos 3 E+ sin 3 F) ⇒Les coordonnées cylindriques de M sont donc : (4, 3,4). Situation et besoins en Physique A. Représentation de l'espace Nous nous limitons ici à l'espace euclidien 3-D qui constitue le cadre de notre environnement macroscopique habituel. Mécanique | 2013 5 Accélération projetée sur le repère, c. sphériques . Analyse03/A-U :2014-2015 Page 1 Chapitre 01 : Intégrales multiples Introduction : Les intégrales multiples constituent la généralisation des intégrales dites simples : c'est-à- dire les intégrales d’une fontion d’une seule varia le réelle. • Pour s'écarter du pôle, l'avion doit augmenter l'angle θ ; juste après avoir quitté le pôle, il part donc dans la direction du vecteur ! u " local (quel que soit l'angle φ). Exemples. •En pratique, si on échantillonne les points de l'espace, on peut stocker 7.2 Les coordonnées cylindriques et sphériques Les coordonnées cylindriques → − Soit ( ) 12 3 ℜ=Oe e e,, , GGG un référentiel. Onlenotesouvent(r; ;z).Commedanscesystème, ds2 = dr2 + r2d 2 + dz2 nousavonsh Corrigé : Soit m le projeté orthogonale de M sur le plan (Oxy). Ce choix du nom des angles est souvent utilisé en physique. Le système de repérage terrestre n’est pas, à proprement parler, un système de coordonnées sphériques puisque la distance d’un point du globe au centre de la Terre n’intervient pas. Dans un repère orthonormé direct (O,i,j,k) r ℜ , un point M est repéré, à tout instant t, par ses coordonnées sphériques ( θr, , ϕ) telles que : ( ) À tout point de l'espace de coordonnées (x,y,z) on associe un scalaire f Champ vectoriel À tout point de l'espace (x,y,z) on associe un vecteur •Exemples : la température T(x,y,z), la masse volumique (x,y,z), etc. Soit H la projection du point P étudié sur le plan Oxy. 1/ Opérateurs classiques en coordonnées sphériques gradient : divergence : rotationnel : Laplacien : où L 2, dit Laplacien angulaire, vaut : 2/ Harmoniques sphériques a) Résolution de l'équation de Laplace. Vu sur res-nlp.univ-lemans.fr on appelle coordonnées sphériques divers systèmes de coordonnées de l’espace qui généralisent les coordonnées polaires du plan. : U = … Coordonnées polaires. DE COORDONNÉES EFFETS SUR LES COORDONNÉES DU POINT, LES CHAMPS ET LES COMPOSANTES DES VECTEURS NOTE : On trouve une table des matières en pages 45-46 I. Coordonnées sphériques :. Geneviève Tulloue 2001-2021 les coordonnées sphériques (voir figure ) permettent de repérer un point sur une sphère de rayon . Le système de coordonnées sphériques est utilisé en astrométrie pour l’étude de la distance et du mouvement des astres par rapport au système solaire ou les uns par rapport aux autres. COORDONNÉES CYLINDRIQUES ET SPHÉRIQUES I. DÉRIVATION VECTORIELLE I.1Définition Soit 12 3 ee e,, GGG une base orthonormée directe. des coordonnées sphériques de l'objet Dans les schémas simplifiés de l’INS examinés plus haut (fig. Détaillons le premier qui consiste à remplacer les coordonnées cartésiennes (x, y) d’un point du plan, par le module r et l’argument du point dans le plan complexe. Déterminer les coordonnées cylindriques puis sphériques du point M (2, 2 3, 4). On a simplement ρ=ρ(r). On s’atta he ii à la généralisation à des fonctions dont le nombre de variables est plus important (deux ou trois). II.2.3 Le système de coordonnées sphériques II.2 Vecteurs Vitesse et accélération II.2.1 Vecteur Vitesse II.2.2 Vecteur accélération: II.3 Expressions des vecteurs vitesse et accélération en systèmes de coordonnées II.3 1 Expressions en coordonnées cartésiennes Figure 6 : Le système de coordonnées sphériques et la base associée . On considère un vecteur quelconque qui dépend du … Coordonnées sphériques, 3D. © Geneviève Tulloue 2001-2021. En coordonnées cartésiennes le tube T est défini par: Le tube T d’axe (Oz), de rayon R, compris entre les plans z = 0 et z = H 1. Coordonnées (page Précédente) Cours (page suivante) Intégrales itérées Si pour z fixé entre les bornes min z et max z, y varie entre y zmin ( ) et max y z( ) où ces expressions sont des fonctions continues de z et si de plus pour y et z fixés respectivement entre les bornes y zmin ( ) et max y z( ) d’une part et min z et max z d’autre part, x varie entre les bornes x y zmin ( , ) et En effet, ce n’est pas du tout un cours de théorie, Ce document est un rappel de notions de mathématiques “de base (i.e. Exercice 2) Calculer les coordonnées cartésiennes des points A, B dont les coordonnées sphériques sont ; e les. Les passages en coordonnées polaires, cylindriques ou sphériques, sont très souvent utilisés. Coordonnées sphériques : On considère un trièdre trirectangle direct Ox, Oy et Oz. View Pages 158-169 MAT 1400.pdf from CALCUL MAT1400 at Université de Montréal. Cartésiennes Cylindriques Sphériques { ,} ∈ ℝ 3 = 2+ 2+ 2 ⃗= En coordonnées sphériques le disque D est défini par: = ˇ=2;r R Les systèmes de coordonnées cylindriques et sphériques semblent à priori les plus appro-priés. Cylindrical coordinates : (x (r, r do z r cos O r sin r dr (10 dz FIGURE 4.4 r dB Spherical coordinates : Y ds — r sin 0 cos — r sin 0 sin — r cos r2 sin dr 110 d" — dr2 + r 2 d62 + r2 sin2 0 dq52 La coordonnée radiale correspond à la distance de l'origine du repère au point .. La coordonnée angulaire correspond à l'angle que fait avec l'axe .Cet angle, compris entre et , est appelé colatitude (angle complémentaire de la latitude) ou zénith. coordonnées sphériques . • Exemples (N = 1) : –coordonnées sphériques (n = 3) : Coordonnées polaires, cylindriques et sphériques. On définit M par la longueur r = OMet les deux angles ϕ et θ. OM= rer x = r sinθcosϕ y = r sinθsinϕ z = r cosθ d −−→ OM= drer +r sinθdϕeϕ +r dθeθ OM 2 = r2 (dOM)2 = dr2 +r2 sin2 θdϕ2 +r2 dθ2 2 1 Calcul vectoriel e z r z x x O y y r M H e θ e ϕ e ϕ θ ϕ 1.2. Attention, le r en coordonnées cylindrique n’à pas la même signification que le r en coordonnées sphérique. 1.1.3 Coordonnées sphériques Vecteurs unitaires :er, eθ, eϕ. Mais pour les objets, qui se déplacent près de la 1.8 Exemples On considère un cylindre infini uniformément chargé (figure ci … MPSI - Electromagn´etisme - Longueurs, surfaces et volumes ´el´ementaires page 2/3 2 Coordonn´ees cylindriques O M z r θ dOM = drer +rdθeθ +dzez 2.1 Longueurs ´el´ementaires dz dr rdθ dre~r rdθe~θ dze~z 2.2 Surfaces ´el´ementaires dr.rdθ rdθ.dz dz.dr 2.3 Volume ´el´ementaire un point de l’espace y est repéré par la distance à un pôle et deux angles. 3. niveau première et deuxième année). c) Le système de coordonnées cartésiennes 5 d) Le système de coordonnées polaires 6 e) Liens entre les systèmes de coordonnées polaires et cartésien-nes 9 f) Le système de coordonnées cylindriques 10 g) Base fixe et base mobile dans le référentiel d’étude 11 h) Choix du système de coordonnées 12 1.3 Vecteur vitesse d’un point 13 Coordonnées cylindriques Coordonnées sphériques . On le note souvent par le triplet (x;y;z). c'est typiquement le repérage d'un point sur la terre pour lequel il suffit alors de préciser deux angles : la latitude et la longitude. Mécanique | 2013 4 Accélération projetée sur le repère, c. cylindriques . 6.3, fig. C’est le plus simpledessystèmes,pourlequelh 1 = h 2 = h 3 = 1. m a pour coordonnées (2, 2 3, 0). Coordonnées sphériques Exercice 1) Soient A et B deux points ayant pour coordonnées sphériques (rA,θA,ϕA) et (rB,θB,ϕB). Cours; Exercice 1.1 . Coordonnées cartésiennes. OUTILS MATHEMATIQUES POUR LA PHYSIQUE INTRODUCTIO : Ce polycopie n’est censé remplacer ni les cours de mathématique, ni les cours de physique. pas, en coordonnées sphériques, des variables θ et ϕ. • Coordonnées généralisées : ensemble de n variables q i, dont les valeurs à chaque instant t spécifient complètement la configuration du système –les grandeurs q i peuvent être de n’importe quelle nature ; elles n’ont pas besoin d’avoir la même dimension ! Mécanique | 2013 6 Vitesse et accélération, composantes Coordonnées cylindriques : Coordonnées sphériques .